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TodosLogos - Blog di Tecnologia Scienza Curiosità

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Matematica - Castello di carte



Quesito. Quante carte occorrono per costuire un castello di carte di n piani?

Risposta.


Dimostrazione.
Per giungere alla formula matematica sono partito dalla seguente osservazione: ogni piano del castello di carte è costituito da un numero di carte pari a 3n+2, dove n rappresenta il numero cardinale che individua il piano, partendo dal vertice (cui assegnamo valore 0). Così il vertice è costituito da 3*0+2=2 carte, il piano sottostante al vertice da 3*1+2=5 carte e così via. In sostanza quindi, l'espressione 3n+2 conta le due carte verticali + la carta orizzontale poggiata sopra (=3n), cui va aggiunto 2 (+2) per indicare l'ultimo paio di carte verticali che non hanno una carta orizzontale sopra (riporto uno schema di un piano qualsiasi di un castello di carte, scusandomi per la grafica alquanto spartana).

In termini di sommatoria, quindi, il numero di carte necessarie è pari a:

Per giungere dalla sommatoria alla formula definitiva, è sufficiente effettuare alcune semplici operazioni, che rispettano le proprietà delle sommatorie, come potete vedere nei passaggi sottostanti.

Non ci resta ora altro da fare che dimostrare la formula appena ricavata per induzione.


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