Matematica - Somma di cubi: strane coincidenze?
E' abbastanza famosa la formula per calcolare la somma di n numeri come il quadrato della somma di tali numeri. Ossia:
Volendo essere più formali, risulta che:
E se prendiamo una sequenza casuale di numeri, la somma dei loro cubi sarà uguale al quadrato della loro somma? Generalmente no (provate ad esempio con la sequenza 5, 10, 15). Esistono però sequenze particolari che rispettano questa proprietà.
Prendiamo un qualsiasi numero n > 0. Sia come esempio il numero 126. Contiamo adesso quanti divisori ha ciascun divisore del numero scelto.
126 ha 12 divisori (126, 63, 42, 21, 18, 14, 9, 7, 6, 3, 2, 1)
63 ha 6 divisori (63, 21, 9, 7, 3, 1)
42 ha 8 divisori (42, 21, 14, 7, 6, 3, 2, 1)
21 ha 4 divisori (21, 7, 3, 1)
18 ha 6 divisori (18, 9, 6, 3, 2, 1)
14 ha 4 divisori (14, 7, 2, 1)
9 ha 3 divisori (9, 3, 1)
7 ha 2 divisori (7, 1)
6 ha 4 divisori (6, 3, 2, 1)
3 ha 2 divisori (3, 1)
2 ha 2 divisori (2, 1)
1 ha 1 divisore (1)
Abbiamo così ottenuto una sequenza di numeri che rispecchia la proprietà che stiamo cercando:
La dimostrazione di questa relazione è alquanto complessa, e la potete trovare all'indirizzo: http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/30001.5.shtml (documento in inglese).
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