TodosLogos - Radice tredicesima di un numero di 100 cifre

Matematica - Radice tredicesima di un numero di 100 cifre

Sembra davvero una impresa impossibile. Ed effettivamente lo è! Però con alcuni accorgimenti potremo riuscire a calcolare mentalmente la radice 13esima di un numero di 100 cifre (magari non proprio mentalmente ma con l’aiuto di una calcolatrice che impazzirebbe facendo questa operazione abnorme!).

Cominciamo con alcune osservazioni, prima di passare alla fase operativa.
1) Qualsiasi numero elevato alla 13esima potenza avrà l’ultima cifra uguale al risultato dell’operazione (l’ultima cifra di x è uguale all’ultima cifra di x¹³).

2) Cerchiamo di capire in quale range verrà a trovarsi la tredicesima radice di un numero di 100 cifre. Il logaritmo in base 10 di un numero di 100 cifre sarà compreso da 99,0 e 99,9999999... Con una calcolatrice calcoliamo

99,0 / 13 = 7,615384615

99,9999999 / 13 = 7,692307692

Eleviamo ora 10 per i due numeri di prima:

^7,615384615

 = 41246264 (approssimando per eccesso)

10

^7,692307692

 = 49238826

Ebbene, i due numeri abbiamo ottenuto sono effettivamente il massimo e il minimo che cercavamo, difatti:

41246264

¹³

 = 1000000053891531265062238747077907560690804374410559722392499871913587301621661365915461814157574144

49238826

¹³ = 9999999162880950507644688918524814522347242627239243189376115437857450758590978444820365074927230976

3) Dalle precedenti considerazioni concludiamo che la radice 13esima di un numero di 100 cifre, sarà un numero di 8 cifre, compreso tra 41246264 e 49238826, che comincia con la cifra 4, e la cui ultima cifra è uguale all’ultima cifra della sua tredicesima potenza.

Passiamo ora alla fase operativa.
Sia dato il seguente numero di 100 cifre di cui vogliamo calcolare la radice tredicesima:
2345813452573965450990121027421105301917006585675372430552395152492628208920201161613694616524029952
Calcoliamo il logaritmo in base 10 del numero dato. La maggior parte delle calcolatrici però non accetta numeri di così tante cifre. Per questo motivo scriviamo il numero dato come:


2,3458134525739... · 10

⁹⁹

Il logaritmo in base 10 del numero espresso in potenza di 10 (per le proprietà dei logaritmi) sarà:


99 + log(2,3458134525739) = 99,37029347

(prendiamo quante cifre vogliamo; una quindicina sono più che sufficienti)

Dividiamo il risultato per 13:


99,37029347 / 13 = 7,643868729

Eleviamo 10 per il numero così trovato:

^7,643868729 = 44042172

Ebbene 44042172 è proprio il numero che cercavamo!! Non è stato troppo difficile, vero? Sono poche operazioni, semplici, che con la calcolatrice sono facilmente risolvibili.

VIA | curiousmath.com

Per esercitarvi, calcolate la radice tredicesima dei seguenti numeri di 100 cifre:


7482196166645215770464154834776146076571164002067134534622897904396227376692331572466797159423828125 (Risultato: 48152365)

1500061168723144575211486415469715865000250425473161565025244368332124622611445374786853790283203125 (Risultato: 42553125)

5618105830833625291851628790941174217385075053846008665085934898673633751830394817139386926130520064 (Risultato: 47102654)

2398714070710747452141549310080357981898749663002137411252896105448707012736546324058355177072099328 (Risultato: 44117788)

P.s. Se volete altri numeri di 100 cifre su cui esercitarvi, scrivete un messaggio nel form sottostante.

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